Una preliminare elaborazione dei dati sul contagio da Corona Virus in Italia
Ricardo Mansani
La prima cosa che colpisce, riportando in grafico il numero di contagi totali da Corona Virus in Italia in funzione del tempo[1], è l’elevata regolarità dell’andamento: figura 1.
Gli strumenti di Excel ci permettono di trovare la curva che meglio intercetta questi dati che, nel nostro caso, è un’esponenziale dalla quale si discostano per eccesso i punti dal 14esimo al 27esimo giorno e per difetto quelli successivi al 27esimo.
Se si va ad analizzare l’andamento dei dati prima del 14esimo giorno si vedrà che i punti si accordano quasi perfettamente con una diversa esponenziale sensibilmente più ripida (curva rossa nel grafico seguente): figura 2.
Nel grafico è riportata l’equazione della curva rossa e il coefficiente R2. Tale coefficiente (coefficiente di determinazione) è una misura di quanto i dati si accordino alla curva teorica (curva rossa). Esso può variare tra 0 e 1 e quanto più si avvicina a 1 tanto più i dati si accordano con la curva teorica. Nel nostro caso R2= 0,9975 l’accordo è ottimo ed è quindi lecito pensare che durante i primi 13 giorni del contagio la crescita esponenziale rispecchi fedelmente l’andamento reale del contagio. In seguito, dopo il 13esimo giorno qualche fattore deve essere intervenuto a frenare la crescita: l’esponenziale teorica che meglio si accorda con la totalità dei punti (curva bleu) è molto meno ripida e ha un fattore di correlazione (0,9672) sensibilmente più basso. Tutto ciò indica che progressivamente la crescita del contagio rallenta e si allontana dall’andamento esponenziale seguito all’inizio. È lecito pensare che dopo i primi 13 giorni si comincino ad apprezzare gli effetti dei provvedimenti presi.
L’insieme dei fatti che abbiamo fin qui analizzato è molto simile a ciò che si osserva nei fenomeni di crescita delle popolazioni (in effetti un’epidemia altro non è che la crescita di una popolazione virale). Una popolazione lasciata a se stessa, in abbondanza di risorse, cresce naturalmente in maniera esponenziale (la cosiddetta crescita Malthusiana), ma una crescita esponenziale, in natura, non è sostenibile a lungo e, dopo un certo tempo, soprattutto a causa della limitata disponibilità di risorse (resistenza ambientale), comincia a rallentare fino a fermarsi a un valore di equilibrio della popolazione: figura 3.
La curva che meglio si presta a descrivere una crescita nella sua globalità è una sigmoide-logisica avente la seguente equazione: figura 4.
Dove N(t) è il numero di individui costituenti la popolazione in funzione del tempo; N0 il numero di individui al tempo 0; k il numero limite di individui costituenti la popolazione a tempi lunghi (in matematica a tempo infinito) e r un parametro legato alla ripidità della curva.
Adattando questi concetti al nostro caso specifico avremo che il numero dei contagi crescerà naturalmente in maniera esponenziale fino a quando non interverrà una “resistenza ambientale” (possibilmente identificabile nelle misure di contenimento adottate) a frenarla. A quel punto la velocità di crescita (numero di contagi per giorno) sarà sempre più bassa fino ad azzerarsi a tempi lunghi ad un valore limite del numero dei contagi. Notiamo che si sta parlando del numero totale dei contagi che si sono verificati, non dei contagi in atto perché, parallelamente all’accumularsi dei contagi alcuni contagiati guariscono o muoiono per cui, prima che il numero di contagi totali raggiunga il suo valore massimo, il numero di contagi in atto comincerà a diminuire fino ad azzerarsi.
Abbiamo quindi preso una curva sigmoide-logistica cercando, per tentativi, di trovare il valore dei parametri k e r che la adattassero ai dati osservati (quelli riportati nel primo grafico). I risultati sono riportati nel grafico seguente insieme alla curva che rappresenta la iniziale crescita esponenziale: figura 5.
Un ottimo accordo con i dati osservati si trova con la curva Sigmoide-Logistica riportata in verde nel grafico. Essa ha un coefficiente di determinazione molto elevato (R2= 0,9835) e lascia prevedere che il contagio si fermerà intorno al 65° giorno (27/04/2020) lasciando un totale di contagi intorno a 140.000.
Naturalmente tutto questo costituisce solo un “divertissement”, un esercizio che ci mostra le potenzialità offerte da un’applicazione come Excel ormai alla portata di tutti noi. Le previsioni fatte hanno un’affidabilità molto scarsa e previsioni serie richiedono strumenti ben più sofisticati. Tuttavia Excel ci ha consentito un approccio a un problema statistico con un qualche rigore metodologico e con risultati dotati, quantomeno, di una buona coerenza.
Nel video distribuito dal Ministero della Salute il prof. Gabriele Battistotti espone la costruzione di il modello matematico SIR (Sani, Infetti, Ristabiliti della propagazione di un’epidemia
[1] Il grafico riporta l’andamento del numero totale di contagi da CV in Italia in funzione del tempo a partire dal giorno in cui furono riscontrati i primi 309 contagi (21/02/2020 indicato nel grafico come giorno 1)